Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe + Parciális differenciálegyenletek - Feladatgyűjtemény (2 mű)

Fülszöveg Ez a mű az alkalmazások szempontjából igen fontos klasszikus témakört modern eszközökkel - az általánosított függvény fogalmára építve - tárgyalja. Ennek következtében a klasszikus fogalmak és eredmények egyrészt világosabbak és áttekinthetőbbek lesznek, másrészt általánosabb érvényűvé válnak. Például egyes esetekben a klasszikus tárgyalás feltételei fontos műszaki problémákban nem teljesülnek és az általánosított függvények segítségével a megoldás ilyenkor is felírható. A könyv megértéséhez csupán a klasszikus differenciál- és integrálszámítás ismerete szükséges, a modernebb felhasznált fogalmak a mű ismerteti. A könyv a Moszkvai Fizikai-Technikai Főiskolán előadott tananyag alapján készült.Tartalom Előszó a harmadik kiadáshoz 15 Előszó a második kiadáshoz 16 Előszó az első kiadáshoz 17 A matematikai fizika feladatainak megfogalmazása A halmazelmélet, a valós függvénytan és a funkcionálanalízis néhány alapfogalma és tétele 19 Ponthalmazok Rn-ben 19 A Cp(G) és a CP(G) függvényosztály 21 A C(T) függvénytér 22 A Lebesgue-integrál 23 Paramétertől függő Lebesgue-integrál 28 Potenciál típusú integrál 29 Az L2(G) függvénytér 32 Ortonormált rendszerek 34 Teljes ortonormált rendszerek 36 Lineáris operátorok és funkcionálok 38 Lineáris egyenletek 41 Szimmetrikus operátorok 43 A matematikai fizika nevezetes egyenletei 45 Hullámmozgások differenciálegyenlete 45 A diffúziós egyenlet 48 Stacionárius egyenletek 50 A transzportegyenletek 51 A hidrodinamika egyenletei 52 A Maxwell-egyenletek 52 A Schrödinger-egyenlet 53 A Klein - Gordon-egyenlet és a Dirac-egyenlet 54 Másodrendű kvázilineáris differenciálegyenletek osztályozása 55 Az egyenletek osztályozása egy pontban 55 A Laplace-operátor felírása gömbi koordinátákban és hengerkoordinátákban 57 Karakterisztikus felületek (karakterisztikák) 58 Kanonikus alak két független változó esetén 60 A másodrendű lineáris differenciálegyenletekre vonatkozó alapfeladatok megfogalmazása 67 A feladatok osztályozása 67 Cauchy-feladatok 68 A karakterisztikák szerepe a Cauchy-feladat megfogalmazásában 69 Peremérték-feladat elliptikus egyenletre 71 Vegyes feladat 72 Egyéb feladatok 73 A matematikai fizika feladatainak korrekt kitűzése 74 Kovalevszkaja tétele 75 Hadamard példája 76 Klasszikus és általánosított megoldások 77 Általánosított függvények (disztribútorok) Alapfüggvények és általánosított függvények 79 Bevezetés 79 Az alapfüggvények tere (D függvénytér) 81 Az általánosított függvények tere (D' tér) 83 A D' disztribúciótér teljessége 84 Az általánosított függvény tartója 87 Reguláris disztribúciók 88 Szinguláris disztribúciók 90 Szohockij-formulák 91 A változók lineáris transzformációja általánosított függvények esetén 92 Disztribúció szorzása függvénnyel 93 Gyakorló feladatok 95 Disztribúciók differenciálása 96 Disztribúció deriváltja 96 Az általánosított derivált tulajdonságai 97 Disztribúció primitív függvénye 99 Példák az n=1 esetben 101 Példák az n>=2 esetben 105 Gyakorló feladatok 114 Disztribúciók direkt szorzata és konvolúciója 116 A direkt szorzat definíciója 116 A direkt szorzat kommutativitása 119 A direkt szorzat további tulajdonságai 120 Konvolúció disztribúciók körében 121 A konvulúció tulajdonságai 124 A konvolúció létezése 126 Disztribúciók D'+ konvolúcióalgebrája 127 Egyenletek a D'+ konvolúcióalgebrában 129 Disztribúciók regularizálása 131 Példák konvolúcióra. Newton-potenciál 132 Gyakorló feladatok 134 Temperált disztribúciók 136 Az alaptér 136 A temperált disztribúciók tere 137 Példák temperált disztribúcióra 138 Egyetlen pontra koncentrált disztribúció 139 Temperált disztribúciók direkt szorzata 141 Temperált disztribúciók konvolúciója 142 Fourier-transzformáció temperált disztribúciók körében 144 A térbeli alapfüggvények Fourier-transzformáltja 144 A térbeli disztribúciók Fourier-transzformáltja 145 A Fourier-transzformáció tulajdonságai 147 Kompakt tartójú disztribúció Fourier-transzformáltja 149 Konvolúció Fourier-transzformáltja 150 Példák n=1 esetén 150 Példák n>=2 estén 154 Gyakorló feladatok 158 Laplace-transzformáció disztribúciók körében (operátorszámítás) 159 Lokálisan integrálható függvény Laplace-transzformáltja 159 Disztribúciók Laplace-transzformáltja 160 A Laplace-transzformáció tulajdonságai 162 Inverz Laplace-transzformáció 164 Példák és alkalmazások 167 Gyakorló feladatok 170 Az alapmegoldás és a Cauchy-feladat Lineáris differenciáloperátorok alapmegoldása 173 Lineáris differenciálegyenletek általánosított megoldása 173 Alapmegoldások 174 Tetszőleges jobb oldalú egyenletek 176 A leereszkedés módszere 177 Közönséges lineáris differenciáloperátorok alapmegoldása 179 A hővezetés egyenletének alapmegoldása 180 A hullámegyenlet alapmegoldása 181 A Laplace-operátor alapmegoldása 183 A Helmholtz-egyenlet alapmegoldása 184 A Cauchy - Riemann-operátor alapmegoldása 185 A transzportegyenlet alapmegoldása 186 Gyakorló feladatok 187 Késleltetett potenciál 188 A hullámegyenlet alapmegoldásának tulajdonságai 188 A konklúcióval kapcsolatos néhány kiegészítés 190 Késleltetett potenciál 192 Felületi késleltetett potenciálok 195 A hullámegyenletre vonatkozó Cauchy-feladat 199 Közönséges lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletre vonatkozó Cauchy-feladat 199 A hullámegyenletre vonatkozó általánosított Cauchy-feladat megfogalmazása 200 Az általánosított Cauchy-feladat megoldása 202 A klasszikus Cauchy-feladat megoldása 203 Gyakorló feladatok 205 Hullámterjedés 207 Hullámterjedés a térben 207 Hullámterjedés a síkon 209 Hullámterjedés az egyenesen 210 A terjedő hullámok módszere 213 A tükrözés módszere félig végtelen húr esetében 215 A tükrözés módszere véges húr esetében 217 Riemann módszere 219 A Gaursat-feladat megoldása 219 A Green-formula 223 A Riemann-függvény 223 A Cauchy-feladat 226 Cauchy-feladat a hővezetés egyenletére 230 Hőpotenciál 230 Felületi hőpotenciálok 232 A hővezetés egyenletére vonatkozó általánosított Cauchy-feladat kitűzése 234 A Cauchy-feladat megoldása 235 Gyakorló feladatok 236 Integrálegyenletek Alapfogalmak. A szukcesszív approximáció módszere 239 Folytonos magú integrálegyenletek 240 Iterált magfüggvények. Rezolvens 243 Volterra-típusú integrálegyenletek 246 Gyenge szingularitású integráloperátorok 248 Gyakorló feladatok 252 A Fredholm-tételek 254 Elfajult magú integrálegyenletek 254 Fredholm-tételek elfajult magú integrálegyenletekre 256 Fredholm-tételek folytonos magú integrálegyenletekre 259 A Fredholm-tételek következményei 262 Fredholm-tételek gyenge szingularitású integráloperátorokra 263 Gyakorló feladatok 265 Szimmetrikus magú integrálegyenletek 267 Szimmetrikus, folytonos magú integráloperátorok 267 Ascoli tétele 268 Szimmetrikus, folytonos magú integrálegyenletek 269 Szimmetrikus, gyenge szingularitású magú integrálegyenletek 271 A Hilbert - Schmidt-tétel és következményei 273 A Hilbert - Schmidt-tétel szimmetrikus, folytonos mag esetén 273 Az iterált magok bilineáris sorfejtése 276 Szimmetrikus, folytonos mag bilineáris sorfejtése 277 Szimmetrikus, folytonos magú inhomogén integrálegyenletek megoldása 278 Pozitív definit magfüggvények 280 A Hilbert - Schmidt-tétel kiterjesztése szimmetrikus, gyenge szingularitású magfüggvények esetére 281 Jentsch tétele 282 Kellog módszere 284 Mercer tétele 287 Elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték-feladatok Sajátérték-feladat 289 A sajátérték-probléma kitűzése 289 Green-formulák 290 Az L operátor tulajdonságai 291 Az L operátor sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek tulajdonságai 293 A sajátértékek és sajátfüggvények fizikai jelentése 296 Gyakorló feladatok 297 Strum - Liouville-probléma 298 A Green-függvény 298 A Sturm - Liouville-feladat visszavezetése integrálegyenletre 301 A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai 302 A sajátértékek és sajátfüggvények meghatározása 304 Bessel-függvények 306 A Bessel-függvények definíciója és legegyszerűbb tulajdonságai 306 Ortogonalitás 308 Rekurziós formulák 309 A Bessel-függvények gyökei 310 A Bessel-egyenletre vonatkozó sajátérték-probléma 312 A Bessel-egyenletre vonatkozó inhomogén peremérték-feladat 313 A Bessel-függvények rendszerének teljessége 315 További hengerfüggvények 316 Gyakorló feladatok 318 Harmonikus függvények 319 Green-formula 319 A Green-formulák általánosítása 321 Középérték-tétel 323 A maximumelv 324 A maximumelv következményei 325 Harmonikus függvény megszüntethető szingularitása 326 Általánosított értelemben harmonikus függvények 327 A harmonikus függvények további tulajdonságai 328 A Liouville-tétel analogonja 330 Gyakorló feladatok 330 Gömbfüggvények 332 A gömbfüggvények definíciója 332 A gömbfüggvények differenciálegyenlete 333 A Legendre-polinomok 334 Generátorfüggvény 336 Asszociált Legendre-függvények 338 Gömbfüggvények 339 A Laplace-formula 341 A Laplace-egyenlet megoldása a térbeli polárkoordináták szerinti változók szétválasztásával 342 Gyakorló feladatok 343 A sajátérték-probléma megoldása a Fourier-módszerrel 344 A Fourier-módszer az általános esetben 344 Példák 345 Newton-potenciál 350 Térfogati potenciál 350 Egyszerű réteg és kettősréteg potenciálja 352 A Newton-potenciálok fizikai jelentése 354 Ljapunov-felületek 355 Az egyszerű és a kettősréteg potenciáljának tulajdonságai az S felületen 359 A kettősréteg potenciáljának ugrása az S felületen 361 Az egyszerű réteg potenciálja normálismenti deriváltjának ugrása 362 Gyakorló feladatok 364 A háromdimenziós Laplace-egyenletre és Poisson-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatok 365 A legfontosabb peremérték-feladatok kitűzése 365 Harmonikus függvények viselkedése a végtelenben 366 A peremérték-feladatok megoldásának egyértelműsége 367 A peremérték-feladat visszavezetése integrálegyenletre 369 Az integrálegyenletek vizsgálata 371 A Dirichlet-feladat és a Neumann-feladat megoldása gömbben 375 A Dirichlet-feladat Green-függvénye 377 A Green-függvény definíciója és tulajdonságai 377 Példák a Green-függvény meghatározására (a tükrözés módszere) 380 A peremérték-feladat megoldása Green-függvény segítségével 382 A Poisson-formula 383 A peremérték-feladat visszavezetése integrálegyenletre 387 A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai 386 Gyakorló feladatok 388 A Helmholtz-egyenlet 390 A Sommerfeld-féle kisugárzási feltételek 390 A homogén Helmholtz-egyenlet 391 Potenciálok 393 A határabszorpció elve 395 A határamplitúdó elve 396 A Helmholtz-egyenletre vonatkozó premérték-feladatok 397 Külső feladatok gömb esetében 398 Gyakorló feladatok 399 A Laplace-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatok a síkon 400 Harmonikus függvény viselkedése a végtelenben 400 A peremérték-feladatok kitűzése és a megoldás egyértelműsége 402 Logaritmikus potenciál 402 A peremérték-feladatok megoldásának létezése 405 A peremérték-feladatok megoldása kör esetén 408 A Dirichlet-feladat Green-függvénye 410 A Dirichlet-feladat megoldása egyszeresen összefüggő tartományban 411 Gyakorló feladatok 412 Vegyes feladatok A Fourier-módszer 415 Homogén hiperbolikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 416 Inhomogén hiperbolikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 417 Parabolikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 419 A Schrödinger-egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 420 Elliptikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 421 Példák 422 Gyakorló feladatok 428 Hiperbolikus egyenletre vonatkozó vegyes feladat 429 A klasszikus megoldás. Energiaintegrál 429 A klasszikus megoldás egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése 431 Paramétertől folytonosan függő (G) térbeli függvények 435 Általánosított megoldás 437 Az általánosított megoldás egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése 439 Az általánosított megoldás létezése 440 A klasszikus megoldás létezése 442 Parabolikus egyenletre vonatkozó vegyes feladat 445 A klasszikus megoldás. Maximumelv 445 A klasszikus megoldás egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése 447 Általánosított megoldás 448 Az általánosított megoldás létezése 450 A klasszikus megoldás létezése 451 Irodalom 452 A legfontosabb jelölések jegyzéke 456 Tárgymutató 459 Tartalom Előszó 7 A legfontosabb jelölések és definíciók 9 A matematikai fizika feladatainak megfogalmazása Az egyenletek levezetése és a feladatok megfogalmazása 11 Másodrendű differenciálegyenletek osztályozása 32 Függvények és integrálegyenletek Mérhető függvények. Lebesgue-integrál 38 Függvényterek 45 Integrálegyenletek 63 Általánosított függvények Alapfüggvények és általánosított függvények (disztribúciók) 84 Disztribúciók differenciálása 91 Disztribúciók direkt szorzata és konvelúciója 99 Temerált disztribúciók Fourier-transzformáltja 108 Disztribúciók Laplace-transzformáltja 114 Lineáris differenciáloperátorok alapmegoldása 118 A Caushy-feladat A másodrendű hiperbolikus egyenletekre vonatkozó Cauchy-feladat 126 A hővezetés egyeletére vonatkozó Cauchy-feladat 149 Más egyenletekre vonatkozó Cauchy-feladat és a Goursat-feladat 160 Elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték-feladatok A Sturm-Liouville-probléma 174 A változók szétválasztásának módszere a Laplace- és a Poisson-egyenlet esetén 184 A Laplace-operátor Green-függvénye 198 A potenciálok módszere 205 Variációs módszerek 224 Vegyes feladatok A változók szétválasztásának módszere 234 Egyéb módszerek 265 Irodalomjegyzék 273