Integráltranszformációk és alkalmazásaik

E könyv célja, hogy bevezesse az Olvasót az integráltranszformációnak a matematikai feladatokban fellépő gyakoribb alkalmazásaiba, s egyben kézikönyvként is használható legyen. A könyv megírásához közvetlenül azok az egyetemi jegyzetek szolgáltak alapul, amelyeket felsőbb éves hallgatók számára az előadásokhoz készítettem az Ausztrál nemzeti Egyetemen, ugyanakkor az anyag összeállítását illetően igen sokat köszönhetek Barry Ninham kollégámnak, akiről később még szót ejtek. A jegyzeteket jelentősen kibővítettem azzal a szándékkal, hogy a könyv több segítséget nyújtson elsősorban olyan felsőbb éves hallgatók számára, akiknek fizikai, kémiai, mérnöki és egyéb rokon tudományokban kell matematikai feladatokat megoldaniok. Minden könyv szükésgszerűen tükrözi a szerző látásmódját, és számos kompromisszum eredménye. Az elsődleges szempontom az volt, hogy inkább szelektív, mint enciklopedikus könyvet írjak. Ezért a tárgykörnek sok részterülete kimaradt - nem egy esetben olyankor is, amikor már előzetesen elkészült -, mivel úgy véltem, hogy ezek túlságosan megnövelnék a könyv terjedelmét. az elhagyott anyag egy részét különféle feladatokban körvonalaztam. Ez lehetővé teszi az egyes feladatok esetében a különböző megoldási módszerek bemutatását. Nagy súlyt helyeztem a komplex függvénytani eljárások alkalmazására - ez a matematikának kevésbé divatos, de gyakran mégis átütő erejű ága. Különösen szigorú voltam a formális bizonyítások elhagyása tekintetében, bár így is jelentős mennyiségű "tiszta matematika" maradt, ami az általánosított függvények - a matematika e másik igen hasznos ága - megértésével és alkalmazásával kapcsolatos. Így az integráltranszformációk elméletének szigorú felépítését illetően az olvasót a tárgykörben megjelent sok kitűnő könyv egyikére-másikára kell utalnom. Én olyan tárgyalásmódot választottam, amely közelebb áll az alkalmazott jellegű tudományos cikkek jellegéhez. Csak azt remélem, hogy az út, amelyen haladtam, nagyon érdekes lesz, és segíteni fogja a hallgatókat és a kutatókat az integráltranszformációk alkalmazásában. Vissza TARTALOM Előszó 9 A Laplace-transzformáció 11 A definíció és néhány elemi tulajdonság 11 A Laplace-transzformáció 11 Fontos tulajdonságok 12 Aszimiptotikus tulajdonságok. Watson lemmája 15 Feladatok 18 Az inverz Laplace-transzformáció 20 A Riemann-Lebesque-lemma 20 A Dirichlet-integrálok 22 Az inverziós integrál 23 Racionális függvények inverziója 24 A Taylor-sorfejtés 26 Feladatok 27 Közönséges differenciálegyenletek 28 Első- és másodrendű differenciálegyenletek 28 Magasabb rendű differenciálegyenletek 30 Differenciálegyenlet-rendszerek 32 Polinom-együtthatós egyenletek 38 Feladatok 39 Parciális differenciálegyenletek 40 A diffúziós egyenlet 40 A hullámterjedés 42 Feladatok 45 Integrálegyenletek 47 Volterra-féle konvolúciós egyenletek 47 Végtelen tartományon vett konvolúciós egyenletek 51 A PercusYevick-egyenlet merev rudakra 54 Feladatok 56 Az inverziós integrál 59 Meromorf függvények inverziója 59 Inverziók, elágazási pont esetén 62 Watson lemmája körintegrálokra 64 A nagy t értékekre vonatkozó aszimptotikus alak 65 A Heaviside-kifejtés 67 Feladatok 67 A Fourier-transzformáció 69 Definíciók és elemi tulajdonságok 69 Az exponenciális, a sinus- és a cosinus-transzformáció 69 Alapvető tulajdonságok 73 Spektrálanalízis 75 A Kramers-Krönig-összefüggések 78 Feladatok 80 Alkalmazás parciális differenciálegyenletre 84 Potenciálszámítás 84 Vízhullámokra vonatkozó alapvető egyenletek 84 A kezdeti felületelmozdulásssal keltett vízhullám 89 Periodikus zavar által keltett hullámok. A terjedés feltétele 92 Feladatok 95 Általánosított függvények 97 A delta-függvény 97 Alapfüggvények és általánosított függvények 98 Elemi tulajdonságok 101 Analitikus funkcionálok 105 Az általánosított függvények Fourier-transzformáltja 107 Feladatok 109 Green-függvények 113 Egydimenziós Green-függvények 113 Green-függvények mint általános függvények 116 A kétdimenziós Poisson-egyenlet 118 A kétdimeziós Helmholtz-egyenlet 122 Feladatok 125 Fourier-transzformáció két vagy több változó esetén 128 Jelölések és alapvető összefüggések 128 Skaláris hullámok diffrakciója 132 Retardált elektromágneses terek 133 Feladatok 135 További fontos transzformációk 141 Mellin-transzformációk 141 Definíciók 141 Egyszerű példák 142 Elemi tulajdonságok 146 Ék alakú tartományra vonatkozó potenciálfeladat 147 Polárkoordinátákat alkalmazó transzformációk 148 Hermite-függvények 150 Feladatok 152 Sorösszegekre vonatkozó Mellin-transzformáció 156 Mellin-féle összegzési formula 156 Ramanujan feladata 158 Hatványsorok aszimptotikus viselkedése 160 Feladatok 162 Paraméteres integrálok 164 Előzetes példa 164 Egy általános feladatkör 16+4 Növekvő sorok Fourier-integrálok esetén 166 Többdimenziós integrálok 167 Feladatok 171 Hankel-transzformációk 173 A Hankel-féle transzformációpar 173 Elemi tulajdonságok 176 Néhány példa 177 Peremérték-feladatok 178 A Weber-integrál 179 Feladatok 181 Duális integrálegyenletek 185 Az elektromosan töltött lemez 185 Titchmarsh-típusú duális itnegrálegyenletek 186 Erdelyi-Kober-féle operátorok 188 Feladatok 191 Green-függvénnyel generált integráltranszformációk 195 Az alapképlet 195 Véges intervallumok 197 Néhány szinguláris feladat 199 Kantorovics-Lebegyev-féle transzformáció 201 Ék alakú tartományra vonatkoz peremérték-feladatok 203 Hullámimpulzus szóródása a kétdimenziós félsíkon 204 Feladatok 207 Speciális eljárások 210 A Wiener-Hopf-módszer 210 A Sommerfeld-féle diffrakció-feladat 210 A Wiener-Hopf-módszer: Féltérre vonatkozó feladatok 217 Integrál és integro-differenciálegyenletek 218 Feladatok 222 Cauchy-integrálokon alapuló módszerek 225 Wiener-Hopf-felbontás vonalintegrál segítségével 225 A Cauchy-integrálok 227 A szakadási tétel 231 A Riemann-Hilbert-feladat 231 Egyszerű alkalmazások 232 Feladatok a lineráris traszportelméletből 233 Az Albedo-probléma 237 Egy diffrakciós feladat 239 Feladatok 244 Laplace módszere közönséges differenciálegynletekre 245 Megoldás integráltranszformációval 245 Az Hermite-polinomok 246 Az Hermite-függvények 248 Bessel-függvények integrál-előállításai 251 Az elsőfajú Bessel-függvények 253 Másod- és harmadfajú függvények 255 A Poisson-féle integrál-előállítás és hasonló előállítások 259 A módosított Bessel-függvények 261 Feladatok 262 A Laplace-transzformáltak numerikus inverziója 268 Gauss-kvadratúra alkalmazása az inverz Laplace-integrál kiszámítására 268 Laguerre-polinomok alkalmazása 272 F(p) közelítés Csebisev-polinomokkal, való p esetén 274 Előállítás Fourier-sorral 276 A Padé-approximáció 277 F(p) racionális közelítése 279 Függelék 282 A faktoriális függvény 282 A Reimenn-féle dzéta-függvény 284 Az exponenciális integrál 286