Speciális függvények - Műszaki-fizikai alkalmazásokkal (42 ábrával)

Saját képekkel - Ismertető: E könyv anyagának egyes részeit előadtam a Budapesti Műszaki Egyetemen villamosmérnök hallgatók, ill. a Budapesti Eötvös Loránd Tudományegyetemen fizika szakos hallgatók számára tartott kötelező és speciálelőadásokon. A könyv elsősorban mérnökök és fizikusok számára készült; éppen ezért (és nem ennek ellenére!) a definíciók és tételek megfogalmazásakor matematikai szigorúságra törekedtem. A matematika felhasználójának, alkalmazójának ugyanis igen fontos, hogy a használt fogalmak pontosak, körülhatároltak, és az állítások, tételek teljesülésének összes feltételei adottak legyenek, nehogy a fogalmak bizonytalansága és a feltételek hiányos ismerete következtében esetleg akkor is ,,alkalmazza" az elméletet, amikor az nem jogos és hibás eredményre vezet, vagy olyan tételt használjon, amely helyett esetleg egy másik lenne a helyénvaló. A terjedelem korlátozottsága miatt kénytelen voltam a tételek jelentős részének bizonyítását elhagyni. Ilyen esetekben megadtam az irodalmi forrást, ahol a bizonyítás megtalálható, kivéve az olyan egyszerű levezetéseket, amelyeket az olvasó maga is könnyűszerrel elvégezhet. Részben a terjedelem szabta korlátok következtében, részben az áttekinthetőség fokozása érdekében magában az anyagban is erős szelekciót kellett végezni. A könyv csak a műszaki és fizikai alkalmazásokban leggyakrabban előforduló, legjelentősebb speciális függvényeket tartalmazza, alkalmazásaikkal együtt. A tárgyalt függvénytípusoknak is csupán legfontosabb tulajdonságai, a legjelentősebb formulák és összefüggések szerepelnek. - További ismertető: "Belelapozás". - TARTALOM: Előszó 9 Legendre-függvények A Laplace-egyenlet megoldása gömbi koordinátarendszerben A Legendre-féle differenciálegyenlet 13 Legendre-polinomok elemi tulajdonságai A Rodrigues-formula 20 Rekurziós formulák 23 Ortogonalitás Függvények Legendre-sorba fejtése További tulajdonságok 26 Asszociált Legendre-függvények 31 Gömbfüggvények 37 Gömbfüggvények ortogonalitása Addiciós tételek Laplace-sorok 41 Ponttöltés potenciálja A Legendre-polinomok generátorfüggvénye 46 A Laplace-egyenlet megoldása gömbön megadott peremfeltételek mellett 49 Kvantummechanikai alkalmazások Elektron mozgása centrális erőtérben 52 Kvantummechanikai alkalmazások Az impulzusmomentum sajátértékei A rotátor 56 Laguerre- és Hermite-polinomok A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete 60 A Laguerre-féle differenciálegyenlet. Laguerre-polinomok 63 Az általános Laguerre-féle differenciálegyenlet Asszhociált Laguerre-polinomok 65 Az asszociált Laguerre-polinomok generátorfüggvénye Rekurziós formulák Ortogonalaitás 78 Kvantummechanikai alkalmazások A lineáris harmonikus oszcillátor A gömbszimmetrikus oszcillátor-potenciál 81 Kvantummechanikai alkalmazások. Kiegészítések 87 Csebisev-polinomok Függvények Csebisev-féle approximációja Elsőfajú Csebisev-polinomok 94 Rekurziós formulák A Csebisev-polinoömok differenciálegyenlete Másodfajú Csebisev-polinomok 101 Csebisev-polinomok explicit előállítása Ortogonalitás Generátor-függvény 105 Jacobi-polinomok 109 Hálózat-szintézis. Csebisev-szűrők 114 Szubharmonikus rezgések 123 Bessel-függvények A Laplace-egyenlet megoldása hengerkoordináta-rendszerben 127 A Bessel-féle differenciálegyenlet 131 Bessel-függvények különböző típusai 135 Rekurziós formulák 142 Bessel-függvények integrál- és szimptotikus előállításai 147 Integrálformulák 154 Bessel-függvények zérushelyei. Ortogonalitás 158 Függvények Bessel - Fourier- és dini-sorba fejtése 163 Kör alakú, rugalmas membrán rezgései 167 Hő (elektromosság) stacionárius áramlása homogén izotróp közegben 174 Homogén gömb hővezetése 181 Elektromágneses hullámok terjedése 184 Hidrodinamikai alkalmazások 192 Rugalmasságtani alkalmazások 202 Forgótárcsák torziós és radiális rezgései 209 Hengerfüggvények általánosításai Elektromágneses hullámok visszaverődése parabolikus hengertükrökön 217 Parabolikus hengerfüggvények 222 A hullámegyenlet megoldása elliptikus koordinátarendszerben A Methieu-féle differenciálegyenlet 227 A Mathieu-féle differenciálegyenlet megoldása Elliptikus hengerfüggvények 229 Elliptikus hengerfüggvények Fourier-sora Ortogonalitás, normálás 239 Elliptikus hengerfüggvényekre vonatkozó elemi összefüggések Módosított elliptikus hengerfüggvények 244 A Mathieu-féle differenciálegyenlet megoldásainak stabilitása Törtindexű elliptikus hengerfüggvények 246 Másodfajú Mathieu-függvények 250 A Hill-féle differenciálegyenlet 254 Elektrotechnikai alkalmazások. A lengőtekercses hangszóró 257 Elektrotechnikai alkalmazások. Frekvenciamoduláció 259 Kör, illetve ellipszis keresztmetszetű hullámvezetők 268 Elektrotechnikai alkalmazások. Tekercsek ellipszis keresztmetszetű vasmagjában fellépő veszteség 278 Elliptikus henger hővezetése 283 Rugalmasságtani alkalmazások Rugalmas húr, rugalmas tartó rezgései 287 Ellipszis alakú membrán rezgései 293 Elliptikus függvények A matematikai inge. Elsőfajú elliptikus integrál 296 Az ellipszis kerülete. Másodfajú elliptikus integrál 298 Az elliptikus integrálok legfontosabb tulajdonságai 300 Az elsőfajú elliptikus integrál invertálása A Jacobi-féle elliptikus függvények 303 A Jacobi-féle zetafüggvény 310 A Weierstrass-féle függvények 311 Az elliptikus integrálok és függvények általános definíciójáról 314 A rugalmas rúd 316 Pörgettyű szögsebessége 319 Körvezető mágneses tere 323 Kétdimenziós elektrosztatikai terek 329 Párhuzamos egyenes vezetőkből álló rács tere 342 Két párhuzamos vezető sík között elhelyezkedő síkbeli rács tere 346 Folyadékáramlás komplex potenciálja 349 Két párhuzamos sík közötti végtelen örvénysor komplex potenciálja 351 Függelék A gammafüggvény A gammafüggvény különféle előállításai. függvényegyenlete 357 A bétafüggvény 360 Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenletek osztályozása 362 Álalános másodrendű lineáris egyenletek osztályozása. A kétváltozós eset 369 A Fourier-módszer 371 Ortogonális függvén yrendszerek A négyzetesen integrálható függvények tere 376 Ortogonális sorok 382 Súlyfüggvényre vonatkozó ortogonalitás Ortogonális polinomrendszerek 387 A Sturm-Liouville-probléma megoldásainak ortogonalitása 395 Hipergeometrikus függvények Másodrendű lineáris differenciálegyenletek szinguláris pontjai A hipergeometrikus differenciálegyenlet 396 A hipergeometrikus differenciálegyenlet megoldásai Hipergeometrikus függvények 400 Konfluens hipergeometrikus függvények 403 Differenciálvariánsok görbevonalú koordinátarendszerben Ortogonális görbevonalú koordinátarendszerek 404 A differenciálvariánsok kifejezései 407 Irodalomjegyzék 409 Tárgymutató 413