Szemléletes integrálszámítás

FÜLSZÖVEG A jelen kötet a Szemléletes differenciálszámítás (Tankönyvkiadó, 1974) című könyvünk folytatása. Könyvünk hasonló célkitűzéssel és szellemben íródott mint az előző. Az integrál fogalmát konkrét jelenségekből kiindulva vezetjük be. Az integrálszámítás további tárgyalásánál - elkerülve a túlzottan elvont meggondolásokat - igyekszünk a tárgy belső logikáját követni. A levezetett eredményeket további feladatok megoldására alkalmazzuk. A könyvet elsősorban középiskolai tanulók számára írtuk, a tárgyalt anyag azonban jóval többet tartalmaz a középiskolai tananyagnál. Így, foglalkozunk függvények sorfejtésével és differenciálegyenletekkel is. Ezeket a középiskolai tanulók számára írtuk, a tárgyalt anyag azonban jóval többet tartalmaz a középiskolai tananyagnál. Ezek a középiskolai tananyagot meghaladó részek részben szakkörrök, részben a matematika iránt érdeklődő fiatalok, valamint alsóéves egyetemi hallgatók számára hasznosak lehetnek. Ugyanakkor ezek a részek (elsősorban a VI. és a VI. fejezetre gondolunk) nem feltétlenül szükségesek a könyv többi részének megértéséhez. Úgy gondoljuk továbbá, hogy a könyv segítséget fog nyújtani a középiskolai tanároknak is az integrálszámítás oktatásában. Könyvünkben módszertanilag az integrálást nem a differenciálszámítás megfordításaként vezetjük be, hanem abból indulunk ki, hogy különböző problémák tárgyalásánál hasonló összegekkel találkozunk. Az integrált ezen összegek határértékeként határozzuk meg. Vissza TARTALOM Az integrál 5 Az út meghatározása a sebesség ismeretében 5 Az integrálás 8 A közelítés pontosságának vizsgálata 10 A szummajelölés 14 Az integrál 14 Néhány példa 16 Egyenletesen változó mozgás 17 Másodfokú függvény integrálja 18 Másodiknál magasabb fokú hatványfüggvény integrálása 20 Exponenciális függvény összegzése 21 Megjegyzés az integrál és a differenciálhányados kapcsolatáról 23 További példák az integrálszámítás alkalmazására 25 Az integrál geometriai jelentése 30 Az integrál függése az a, b szakasz határaitól 34 Megjegyzések a közelítő összegekkel kapcsolatban 35 Szinguláris függvények integrálja 40 Az integrálszámítás és a differenciálszámítás kapcsolata 42 Az integrálfüggvény 42 Newton-Leibniz-szabály 45 Integrálfüggvények megállapítása a Newton-Leibniz-szabály alapján 47 Néhány további integrál 51 Szingularitások vizsgálata 52 Integrálási módszerek és alkalmazásaik 54 Függvények lineáris kombinációjának integrálja 54 A parciális integrálás módszere 57 Függvények közelítése érintőjükkel 61 Új változó bevezetése 66 A munka kiszámítása idő szerinti integrálással 66 Általános fogalmazás 73 Példák új változó bevezetésére 76 Az energiatétel 82 Az út-idő összefüggés meghatározása 84 Mozgás gravitációs mezőben 86 Függvények sorfejtése, L'Hospital-szabály 91 Függvények közelítése parabolával 91 Függvények közelítése n-ed fokú függvénnyel 98 Az exponenciális függvény Taylor-sora 104 A szinuszfüggvény sorfejtése 107 A logaritmikus függvény sorfejtése 110 A L'Hospital-szabály 114 Numerikus integrálás 120 Megjegyzések a függvények integrálásáról 120 Közelítés lépcsős függvénnyel 122 Példák numerikus integrálásra 126 A trapézszabály 131 A Simpson-szabály 134 A Simpson-szabály pontosságának becslése 139 Megjegyzés a numerikus integrálás különböző módszereiről 140 Néhány differenciálegyenlet 143 A kondenzátor feltöltődése 143 A közegellenállás szerepe testek esésekor 147