Variációszámítás (második, javított kiadás)

TARTALOM Fontosabb jelölések és rövidítések 13 Alapvető fogalmak, problémák és módszerek Funkcionálok 17 Funkcionálok értelmezése 17 Funkcionálok szélsőértéke 18 A variációszámítás tárgya 19 A variációszámítás legegyszerűbb feladattípusa 20 A brachisztochron-probléma 20 A minimális felszínű forgásfelület problémája 22 A legegyszerűbb variációs probléma 23 A klasszikus módszerek az extremális függvények meghatározására 25 Euler módszere. Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 25 Megjegyzések Euler módszeréhez 27 Lagrange módszere. A Lagrange-féle lemma 29 A variáció klasszikus értelmezése. Az első variáció és az Euler-Langrange-féle differenciálegyenlet kapcsolata 32 A funkcionálanalízis egy módszere 34 Lienáris normált téren értelmezett funkcionál 35 A Fréchet-féle derivált. A variáció modern értelmezése 38 Alkalmazás a legegyszerűbb variációs problémára 39 Megjegyzések Fréchet módszeréhez 41 Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 43 Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet rendjének csökkentése 44 Hiányos alapfüggvények 45 Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet általános megoldásának előállítása két konkrét esetben 46 A megengedett függvényosztály megálasztása (differenciálhatósági és folytonossági feltételek) 51 A szélsőérték létezése 52 A variációszámítás néhány klasszikus problématípusa 66 Relatív erős és gyenge szélsőérték 66 Szükséges és elégséges feltételek 72 A legegyszerűbb variációs feladat néhány általánosítása 73 A fizika variációs elveiről. További variációs problémák 77 Előzetes megjegyzések a további vizsgálatokról 81 A legegyszerűbb variációs probléma szükséges és elégséges feltételei A relatív gyenge minimum szükséges feltételei 85 A probléma megfogalmazása. A Du Bois Reymond-féle dilemma 85 Az első variáció. Az Euler-Lagrange-féle integro-differenciálegyenlet 88 Az Euler-Lagrange-féle integro differenciálegyenlet néhány következménye 92 A második variáció 95 A Legendre-féle feltétel 97 Hilbert differenciálhatósági tétele. Reguláris funkcionál 100 A Jacobi-féle elégtétel 104 Kiegészítések a Jacobi-féle feltételhez 111 A relatív gyenge minimum elégséges feltételi 117 Előzetes megjegyzések és segédtételek 117 Elégséges feltételek 123 A relatív erős minimum szükséges és elégséges feltételei 130 A Weierstrass-féle szükséges feltétel 130 A minimumelv. Egy újabb integro-differenciálegyenlet 138 A relatív erős minimum elégséges feltételei 142 A mező fogalma. Elégséges feltételek 149 Általánosabb variációs problémákra vonatkozó szükséges feltételek Magasabb rendű (egydimenziós, nem-paraméteres, rögzített végpontú) variációs problémák 161 A probléma megfogalmazása. A Du Bois Reymond féle lemma 161 Az Euler-Poisson-féle integro-differenciálegyenlet 163 Térbeli (egydimenziós, nem-paraméteres, rögzített végpontú) variációs problémák 169 Többdimenziós variációs problémák 175 A kétdimenziós variációs probléma. A Haar-féle lemma 175 A Haar-féle szükséges feltétel 179 Paraméteres variációs problémák 185 A homogenitási feltétel 185 A térbeli paraméteres rögzített végpontú variációs probléma 189 Változó végpontú variációs problémák 197 Transzverzalitási feltételek paraméteres variációs problémára 197 Transzverzalitási feltétel nem-paraméteres variációs problémára 200 Feltételes szélsőérték-problémák 203 Egy egyszerű izoperimetrikus problématípus 203 Egy egyszerű Legrange-féle problématípus anholonom mellékfeltétel 209 Megjegyzések a variációszámítás feltételes szélsőérték-problémáival kapcsolatban 215 Függelék 220 Az extremális és a stacionárius függvények invarianciája 220 Egy egyszerű inverz probléma 228 A Hamilton-féle függvény 230 Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet kanonikus alakja 230 A Hamilton-Jacobi-féle parciális differenciálegyenlet 233 A variációszámítás direkt módszerei 235 A direkt módszerek alapgondolata 235 Ritz módszere 237 Irodalom 239 Név- és tárgymutató 241