A mechanika matematikai módszerei

A klasszikus mechanika a legkülönbözőbb matematikai módszereket és fogalmakat használja, úgymint: differenciálegyenleteket és fázisáramokat, sima leképezéseket és sokaságokat, Lie-csoportokat és Lie-algebrákat, szimpletikus geometriát és ergodelméletet. Számos matematikai elmélet valamely mechanikai problémáról született, és csak később nyerte el azt az absztrakt axiomatikus alakját, amely ma annyira megnehezíti a tanulmányozásukat. Ebben a könyvben egészen az alapoktól kezdve építjük fel a klasszikus mechanika apparátusát úgy, hogy az Olvasó részéről semmiféle olyan előismeretet nem tételezünk fel, amely túlmenne a szokásos egyetemi tananyagon: analízisből a derivált, az integrál- és a differenciálegyenletek, geometriából a lineáris tér és a vektorok, lineáris algebrából pedig a lineáris operátorok és a kvadratikus alakok ismeretét tételezzük fel. --- TARTALOM --- Előszó 9 A newtoni mechanika 11 Kísérleti fejezetek 13 A relativitás és a determinizmus elve 13 A Galilei-csoport és a Newton-egyenletek 14 Példák mechanikai rendszerre 19 A mozgásegyenletek vizsgálata 23 Egy szabadsági fokú rendszerek 23 Két szabadsági fokú rendszerek 29 Konzervatív erőtér 34 Impulzusmomentum 36 Centrális erőtérben való mozgás vizsgálata 39 Pont mozgása a háromdimenziós térben 47 Egy n-pontú rendszer mozgása 49 Hasonlósági meggondolások 54 A Lagrange-mechanika 57 A variációs elv 58 Variációszámítás 58 A Lagrange-egyenletek 62 A Legendre-transzformáció 64 A Hamilton-egyenletek 68 A Liouville-tétel 71 Lagrange-mechanika sokaságokon 78 Holomon kötések 78 Differenciálható sokaságok 80 Lagrange-féle dinamikus rendszer 86 Noether élete 90 A D'Alembert-elv 93 Rezgések 100 Linearizáció 100 Kis rezgések 105 A sajátfrekvenciák viselkedéséről 111 Paraméterrezonancia 115 Merev testek 124 Mozgás mozgó koordináta-rendszerben 124 Tehetetlenségi erők. A Coriolis-féle erő 129 Merev testek 132 Az Euler-egyenletek. A mozgás leírása Poinsot módszerével 141 A Lagrange-féle pörgettyű (giroszkóp) 146 Alvó és gyors pörgettyű 151 A Hamilton-féle mechanika 159 Differenciálformák 160 Külső formák 160 Külső szorzás 165 Differenciál- (vagy differenciális) formák 169 Differenciálformák integrálása 176 Külső deriválás 183 Szimpletikus sokaságok 195 Sokaságok szimpletikus struktúrája 195 Hamilton-féle fázisáramok és integrálinvariánsaik 197 Vektormezők Lie-algebrája 201 Hamilton-függvények Lie-algebrája 207 Szimpletikus geometria 212 Paraméterrezonancia sok szabadsági fokú rendszerekben 217 Szimpletikus atlasz 221 Kanonikus formalizmus 224 A Poincaré-Cartan-féle integrálinvariáns 224 A Poincaré-Cartan-féle integrálinvariánsról szóló tétel következményei 230 A Huygens-elv 238 A Hamilton-féle kanonikus egyenletek integrálása Jacobi és Hamilton módszerével 246 Generátorfüggvények 254 Bevezetés a perturbációelméletbe 259 Integrálható rendszerek 259 A hatás-szög változók 265 Átlagolás 272 A pertubációk áltagolása 277 A Riemann-görbület 287 Lie-csoportokon megadott balinvariáns metrikák geodetikusai és ideális folyadékok hidrodinamikája 302 Algebrai sokaságok szimplektikus struktúrája 324 Kontakt struktúrák 330 Szimmetrikus dinamikai rendszerek 349 Kvardratikus Hamilton-függvények normálalakjai 358 Hamilton-rendszerek normálalakjai fixpontok és zárt pályák közelében 362 Feltételesen periodikus mozgások perbutációelméete és Kolmogorov-tétele 375 A geometriai Poincaré-tétel, általánosításai és alkalmazásai 390 Sajátfrekvenciák multiplicitásai és paraméterektől függő ellipszoidok 398 Rövidhullámú aszimptotikák 409 Lagrange-szingularitások 417 A Korteweg-de Vries-egyenlet 423 Tárgymutató 426